Guía Completa para Resolver Problemas de Estados Absorbentes en Cadenas de Markov

Arturo

18/03/2025 - Actualizado: 13/03/2026

Guía Completa para Resolver Problemas de Estados Absorbentes en Cadenas de Markov

Selecciona tamaño de la matriz:

Nota: para usar esta calculadora, la matriz de transicion debe estar debidamente organizada, en este orden:

Calculadora de Cadenas de Markov

Calculadora de Cadenas de Markov con Estados Absorbentes

Introduce la matriz de transición P (dimensiones de 2×2 hasta 6×6):

Tamaño de la matriz:

Las cadenas de Markov con estados absorbentes son una herramienta fundamental en la modelación de procesos estocásticos, en los que ciertos estados actúan como "trampas" en las que, una vez ingresados, el proceso no puede salir. En esta guía te presentamos 4 pasos esenciales para resolver este tipo de problemas, ilustrándolos con ejemplos prácticos.

Tabla de Contenidos:

Estados Absorbentes
Ejemplo 1 — Matriz 3×3 (1 estado absorbente)
Ejemplo 2 — Matriz 4×4 (2 estados absorbentes)

Estados Absorbentes

Una cadena de Markov describe la evolución de un sistema en pasos discretos, en el que la probabilidad de transitar a otro estado depende únicamente del estado actual. En algunos casos, el sistema contiene estados absorbentes: estados que, al alcanzarlos, el proceso se detiene.

Para resolver problemas de este tipo se deben calcular dos matrices clave:

La matriz fundamental N = (I − Q)⁻¹, que indica el número esperado de visitas a los estados transitorios antes de ser absorbido.
La matriz de absorción P = N · R, que muestra la probabilidad de terminar en cada estado absorbente.

A continuación, se detalla el proceso en 4 pasos, acompañado de ejemplos.

Identificar los estados absorbentes

Definición: Un estado i es absorbente si la probabilidad de permanecer en él una vez que se entra es 1, es decir, P_ii = 1 y P_ij = 0 para todo j ≠ i.

Procedimiento:

Inspecciona cada fila de la matriz de transición P.
Si encuentras una fila cuyo valor en la diagonal es 1 y el resto de valores es 0, ese estado es absorbente.

Reordenar la matriz y extraer Q, R, O, I

Para aplicar la teoría, se reordena la matriz de transición de modo que primero aparezcan todos los estados transitorios y después todos los absorbentes. En esa forma canónica, la matriz queda dividida en cuatro bloques:

P reordenada	Estados transitorios	Estados absorbentes
Estados transitorios	Q	R
Estados absorbentes	O	I

Q (dimensión t×t, t = nº de estados transitorios): probabilidades de ir de un estado transitorio a otro estado transitorio.
R (dimensión t×m, m = nº de estados absorbentes): probabilidades de ir de un estado transitorio a un estado absorbente.
O (dimensión m×t): matriz de ceros — probabilidades de ir de un estado absorbente a uno transitorio. Siempre es cero porque de un estado absorbente no se sale.
I (dimensión m×m): matriz identidad — probabilidades de ir de un estado absorbente a sí mismo (una vez absorbido, el proceso no cambia).

Calcular la matriz fundamental N = (I − Q)⁻¹

Definición: N = (I − Q)⁻¹ se conoce como la matriz fundamental. Cada elemento N_ij indica el número esperado de veces que el proceso estará en el estado transitorio j si empieza en el estado transitorio i, antes de ser absorbido.

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Cálculo (método de Gauss-Jordan):

Se construye la matriz (I − Q).
Se aplica Gauss-Jordan para hallar su inversa.
El resultado es N.

Si Q es de dimensión t×t, entonces (I − Q) también es t×t, y su inversa N mantiene esa misma dimensión.

Calcular la matriz de absorción P = N · R

Una vez obtenida N, calculamos la probabilidad de que, partiendo de un estado transitorio i, el proceso sea absorbido en cada estado absorbente:

P = N · R

Cada fila de P corresponde a un estado transitorio.
Cada columna de P corresponde a un estado absorbente.
Por lo tanto, P_ij es la probabilidad de que, empezando en el estado transitorio i, el proceso termine en el estado absorbente j.

ℹ️ Si hay más de un estado absorbente, P da la distribución de probabilidades entre ellos. Si solo hay un estado absorbente, P es un vector columna de unos (100% de probabilidad).

Ejemplo 1 — Matriz 3×3 (1 estado absorbente)

Sistema con 3 estados donde el Estado 3 es la única "trampa"

Considera un sistema con 3 estados (E1, E2, E3). La siguiente matriz de transición describe el comportamiento del proceso:

Estado	E1	E2	E3
E1	0.5	0.3	0.2
E2	0.4	0.2	0.4
E3 (absorbente)	0	0	1

Identificar los estados absorbentes

Fila E1: P₁₁ = 0.5 ≠ 1 → Transitorio
Fila E2: P₂₂ = 0.2 ≠ 1 → Transitorio
Fila E3: P₃₃ = 1 y P₃₁ = P₃₂ = 0 → Absorbente ✓

✅ El Estado 3 es el único estado absorbente. E1 y E2 son estados transitorios.

Extraer las submatrices Q, R, O, I

La matriz ya está ordenada (transitorios primero). Identificamos los bloques:

Submatriz Q — Transitorios → Transitorios (2×2)

Q	E1	E2
E1	0.5	0.3
E2	0.4	0.2

Submatriz R — Transitorios → Absorbentes (2×1)

R	E3
E1	0.2
E2	0.4

O = [0 0] (absorbente → transitorios, siempre cero) · I = [1] (absorbente → sí mismo)

Calcular la Matriz Fundamental N = (I − Q)⁻¹

a) Construimos (I − Q):

I − Q =

1	0
0	1

−

0.5	0.3
0.4	0.2

0.5	−0.3
−0.4	0.8

b) Invertimos por el método de Gauss-Jordan. Construimos la matriz aumentada [I − Q | I] y aplicamos operaciones de fila hasta que la parte izquierda sea la identidad. La parte derecha resultante es N.

Matriz aumentada inicial

0.5	−0.3	1	0
−0.4	0.8	0	1

Izquierda = (I − Q) | Derecha = Identidad

↓

Paso 1Fila 1 × 2 → para obtener 1 en posición [1,1]

1	−0.6	2	0
−0.4	0.8	0	1

¿Por qué ×2? El valor en la posición [1,1] es 0.5. Para convertirlo en 1, necesitamos multiplicarlo por su inverso: 1 ÷ 0.5 = 2. Se multiplica toda la fila por ese mismo factor.
Resultado: 0.5×2 = 1 · −0.3×2 = −0.6 · 1×2 = 2 · 0×2 = 0

↓

Paso 2Fila 2 → Fila 2 + 0.4 × Fila 1 → para obtener 0 en posición [2,1]

1	−0.6	2	0
0	0.56	0.8	1

¿Por qué +0.4 × Fila 1? El valor en la posición [2,1] es −0.4. Para anularlo necesitamos sumarle su opuesto, es decir, +0.4. Como en la posición [1,1] ya hay un 1, multiplicar Fila 1 por 0.4 y sumárselo a Fila 2 produce exactamente: −0.4 + 0.4×1 = 0.
Resto de la fila: 0.8 + 0.4×(−0.6) = 0.56 · 0 + 0.4×2 = 0.8 · 1 + 0.4×0 = 1

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↓

Paso 3Fila 2 ÷ 0.56 → para obtener 1 en posición [2,2]

1	−0.6	2	0
0	1	1.429	1.786

¿Por qué ÷0.56? El valor en la posición [2,2] es 0.56. Para convertirlo en 1, dividimos toda la fila entre ese mismo valor (es decir, multiplicamos por 1÷0.56).
Resultado: 0.56÷0.56 = 1 · 0.8÷0.56 = 1.429 · 1÷0.56 = 1.786

↓

Paso 4Fila 1 → Fila 1 + 0.6 × Fila 2 → para obtener 0 en posición [1,2]

1	0	2.857	1.071
0	1	1.429	1.786

¿Por qué +0.6 × Fila 2? El valor en la posición [1,2] es −0.6. Para anularlo necesitamos sumarle +0.6. Como en la posición [2,2] ya hay un 1, multiplicar Fila 2 por 0.6 y sumárselo a Fila 1 produce: −0.6 + 0.6×1 = 0.
Resto de la fila: 2 + 0.6×1.429 = 2.857 · 0 + 0.6×1.786 = 1.071

↓

Resultado: la parte derecha es N

1	0	2.857	1.071
0	1	1.429	1.786

Parte izquierda = identidad ✓ · Parte derecha (verde) = N = (I − Q)⁻¹

N	E1	E2
E1	2.857	1.071
E2	1.429	1.786

📌 Interpretación: Partiendo de E1, se esperan ~2.86 visitas a E1 y ~1.07 visitas a E2 antes de ser absorbido. Partiendo de E2, se esperan ~1.43 visitas a E1 y ~1.79 visitas a E2.

Calcular la Matriz de Absorción P = N · R

Multiplicamos N (2×2) por R (2×1):

P = N · R =

2.857	1.071
1.429	1.786

0.2

0.4

Fila E1: 2.857 × 0.2 + 1.071 × 0.4 = 0.571 + 0.428 = 1.000

Fila E2: 1.429 × 0.2 + 1.786 × 0.4 = 0.286 + 0.714 = 1.000

P	P(absorción en E3)
Desde E1	1.000 = 100%
Desde E2	1.000 = 100%

✅ Conclusión: Con un solo estado absorbente, la probabilidad de terminar en E3 es del 100% sin importar el estado de inicio. Esto confirma que todo estado transitorio termina inevitablemente en el absorbente.

Ejemplo 2 — Matriz 4×4 (2 estados absorbentes)

Caso de negocio: clientes que pueden terminar en quiebra o fidelización

Una empresa clasifica a sus clientes en dos categorías de riesgo (E1, E2) que pueden terminar en quiebra (E3) o en fidelización permanente (E4):

Estado	E1	E2	E3 (quiebra)	E4 (fideliz.)
E1	0.4	0.2	0.3	0.1
E2	0.1	0.5	0.2	0.2
E3 (absorbente)	0	0	1	0
E4 (absorbente)	0	0	0	1

Identificar los estados absorbentes

E1: P₁₁ = 0.4 ≠ 1 → Transitorio
E2: P₂₂ = 0.5 ≠ 1 → Transitorio
E3: P₃₃ = 1, resto = 0 → Absorbente ✓
E4: P₄₄ = 1, resto = 0 → Absorbente ✓

✅ Hay 2 estados absorbentes (E3 y E4) y 2 estados transitorios (E1 y E2).

Extraer las submatrices Q, R, O, I

La matriz ya está ordenada. Extraemos los cuatro bloques:

Submatriz Q (2×2) — Transitorios → Transitorios

Q	E1	E2
E1	0.4	0.2
E2	0.1	0.5

Submatriz R (2×2) — Transitorios → Absorbentes

R	E3	E4
E1	0.3	0.1
E2	0.2	0.2

O = matriz 2×2 de ceros (absorbentes → transitorios) · I = identidad 2×2 (absorbentes → sí mismos)

Calcular la Matriz Fundamental N = (I − Q)⁻¹

a) Construimos (I − Q):

I − Q =

1	0
0	1

−

0.4	0.2
0.1	0.5

0.6	−0.2
−0.1	0.5

b) Invertimos por el método de Gauss-Jordan. Construimos la matriz aumentada [I − Q | I]:

Matriz aumentada inicial

0.6	−0.2	1	0
−0.1	0.5	0	1

↓

Paso 1Fila 1 ÷ 0.6 → para obtener 1 en posición [1,1]

1	−0.333	1.667	0
−0.1	0.5	0	1

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¿Por qué ÷0.6? El valor en la posición [1,1] es 0.6. Para convertirlo en 1, dividimos toda la fila entre ese mismo valor (es decir, multiplicamos por 1÷0.6 ≈ 1.667).
Resultado: 0.6÷0.6 = 1 · −0.2÷0.6 = −0.333 · 1÷0.6 = 1.667

↓

Paso 2Fila 2 → Fila 2 + 0.1 × Fila 1 → para obtener 0 en posición [2,1]

1	−0.333	1.667	0
0	0.467	0.167	1

¿Por qué +0.1 × Fila 1? El valor en la posición [2,1] es −0.1. Para anularlo necesitamos sumarle +0.1. Como en [1,1] ya hay un 1, multiplicar Fila 1 por 0.1 y sumárselo a Fila 2 produce: −0.1 + 0.1×1 = 0.
Resto: 0.5 + 0.1×(−0.333) = 0.467 · 0 + 0.1×1.667 = 0.167 · 1 + 0.1×0 = 1

↓

Paso 3Fila 2 ÷ 0.467 → para obtener 1 en posición [2,2]

1	−0.333	1.667	0
0	1	0.357	2.143

¿Por qué ÷0.467? El valor en la posición [2,2] es 0.467. Para convertirlo en 1, dividimos toda la fila entre ese mismo valor.
Resultado: 0.467÷0.467 = 1 · 0.167÷0.467 = 0.357 · 1÷0.467 = 2.143

↓

Paso 4Fila 1 → Fila 1 + 0.333 × Fila 2 → para obtener 0 en posición [1,2]

1	0	1.786	0.714
0	1	0.357	2.143

¿Por qué +0.333 × Fila 2? El valor en la posición [1,2] es −0.333. Para anularlo necesitamos sumarle +0.333. Como en [2,2] ya hay un 1, multiplicar Fila 2 por 0.333 y sumárselo a Fila 1 produce: −0.333 + 0.333×1 = 0.
Resto: 1.667 + 0.333×0.357 = 1.786 · 0 + 0.333×2.143 = 0.714

↓

Resultado: la parte derecha es N

1	0	1.786	0.714
0	1	0.357	2.143

Parte izquierda = identidad ✓ · Parte derecha (verde) = N = (I − Q)⁻¹

N	E1	E2
E1	1.786	0.714
E2	0.357	2.143

📌 Interpretación: Un cliente en E1 visitará su estado ~1.79 veces y E2 ~0.71 veces antes de terminar. Un cliente en E2 permanecerá en E2 ~2.14 veces antes de ser absorbido.

Calcular la Matriz de Absorción P = N · R

Multiplicamos N (2×2) por R (2×2). El resultado P es también 2×2:

P = N · R =

1.786	0.714
0.357	2.143

0.3	0.1
0.2	0.2

Calculamos cada celda de P por separado:

Fila E1, columna E3: 1.786×0.3 + 0.714×0.2 = 0.536 + 0.143 = 0.679

Fila E1, columna E4: 1.786×0.1 + 0.714×0.2 = 0.179 + 0.143 = 0.321

Suma fila E1: 0.679 + 0.321 = 1.000 ✓

Fila E2, columna E3: 0.357×0.3 + 2.143×0.2 = 0.107 + 0.429 = 0.536

Fila E2, columna E4: 0.357×0.1 + 2.143×0.2 = 0.036 + 0.429 = 0.464

Suma fila E2: 0.536 + 0.464 = 1.000 ✓

P	E3 — Quiebra	E4 — Fidelización
Desde E1	0.679 = 67.9%	0.321 = 32.1%
Desde E2	0.536 = 53.6%	0.464 = 46.4%

✅ Conclusión: Un cliente en E1 tiene 67.9% de probabilidad de quiebra y 32.1% de fidelización. Un cliente en E2 tiene 53.6% de quiebra y 46.4% de fidelización. Las filas suman 1, lo que confirma la corrección de todos los cálculos.

📋 Resumen del método — 4 pasos

Identificar absorbentes: P_ii = 1 con todos los demás valores en 0.
Extraer Q, R, O e I: Ordena la matriz con transitorios primero, luego absorbentes.
Calcular N = (I − Q)⁻¹: Construye I − Q y aplica Gauss-Jordan para invertirla.
Calcular P = N · R: Cada P_ij es la probabilidad de absorción en el estado j partiendo de i.

🔎 Verificación: La suma de cada fila de la matriz P debe ser exactamente 1. Si no es así, hay un error en N o en R.

Arturo

Ingeniero Industrial con +20 años de experiencia en optimizar procesos y garantizar la calidad y seguridad en la industria. Fundador de aprendeindustrial.com, donde comparte conocimiento práctico para los ingenieros del futuro.

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Calcular la matriz fundamental N = (I − Q)−1

Calcular la matriz de absorción P = N · R

Ejemplo 1 — Matriz 3×3 (1 estado absorbente)

Identificar los estados absorbentes

Extraer las submatrices Q, R, O, I

Submatriz Q — Transitorios → Transitorios (2×2)

Submatriz R — Transitorios → Absorbentes (2×1)

Calcular la Matriz Fundamental N = (I − Q)−1

Calcular la Matriz de Absorción P = N · R

Ejemplo 2 — Matriz 4×4 (2 estados absorbentes)

Identificar los estados absorbentes

Extraer las submatrices Q, R, O, I

Submatriz Q (2×2) — Transitorios → Transitorios

Submatriz R (2×2) — Transitorios → Absorbentes

Calcular la Matriz Fundamental N = (I − Q)−1

Calcular la Matriz de Absorción P = N · R

📋 Resumen del método — 4 pasos

Calcular la matriz fundamental N = (I − Q)⁻¹

Calcular la Matriz Fundamental N = (I − Q)⁻¹

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