Cómo Resolver Cadenas de Markov en Estado Estable: Guía Paso a Paso

Bienvenido a esta guía detallada sobre cómo encontrar el estado estable de una cadena de Markov utilizando el poderoso método de eliminación de Gauss. Si alguna vez te has preguntado cómo predecir el comportamiento a largo plazo de un sistema que cambia de estado probabilísticamente, las cadenas de Markov son la clave. Y para desvelar su estado estable, el método de Gauss es una herramienta fundamental.

Las cadenas de Markov son herramientas poderosas para modelar sistemas que cambian de estado con el tiempo, como el clima, los hábitos de los consumidores o los procesos biológicos. En este artículo, te enseñaré cómo encontrar la distribución en estado estable (o distribución a largo plazo) de una cadena de Markov utilizando un método práctico y sistemático. Este método utiliza el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones, y lo explicaré paso a paso. Resolveremos ejercicios con matrices 3x3 y un ejercicio con una matriz 2x2 para ilustrar cómo adaptar el método a diferentes tamaños. Además, incluiremos una calculadora interactiva para que puedas probar tus propias matrices.

Nota: al final de este artículo encontrarás una Calculadora de Estado Estable - Cadenas de Markov

las Cadenas de Markov también son muy útiles para la predicción a corto plazo, anticipando eventos en el futuro inmediato. Si te interesa conocer cómo usar las Cadenas de Markov para este propósito, te invitamos a leer nuestra guía: Predicción a Corto Plazo con Cadenas de Markov: Una Guía Paso a Paso.

¿Qué es el estado estable en una cadena de Markov?

El estado estable de una cadena de Markov es un vector de probabilidades [p1, p2, p3] (o [p1, p2] para matrices 2x2) que representa las probabilidades de estar en cada estado después de un número muy grande de transiciones. Este vector satisface la ecuación [p1, p2, p3] = [p1, p2, p3] * P, donde P es la matriz de transición, y la suma de las probabilidades debe ser 1 (es decir, p1 + p2 + p3 = 1).

Pasos para resolver una cadena de Markov en estado estable (matriz 3x3)

Aquí tienes los 16 pasos para encontrar la distribución en estado estable con una matriz 3x3:

1. Formular las 3 ecuaciones a partir de la matriz de transición: Usa la ecuación [p1, p2, p3] = [p1, p2, p3] * M. Multiplica p1 por la primera columna de la matriz, p2 por la segunda columna, y p3 por la tercera columna.
2. Multiplicar por 100 para usar números enteros: Esto elimina los decimales y facilita los cálculos.
3. Igualar las ecuaciones a cero: Traslada todos los términos al mismo lado para que la ecuación iguale 0.
4. Obtener las ecuaciones: Lista las ecuaciones simplificadas para confirmarlas.
5. Agregar la ecuación de normalización: Añade p1 + p2 + p3 = 1, multiplicada por 100 (100 * p1 + 100 * p2 + 100 * p3 = 100).
6. Sustituir la Primera Ecuación por la Ecuación de Normalización
7. Hacer el tablero de Gauss seleccionando 3 de las 4 ecuaciones: Elige la ecuación de normalización y dos de las ecuaciones originales (normalmente la 2 y la 3).
8. Trazar la diagonal e identificar los 3 números debajo: La diagonal va de la posición (1,1) a (3,3). Los números debajo son (2,1), (3,1), y (3,2).
9. Hacer el primer número debajo de la diagonal igual a cero: Usa F2 = (k * F1) - F2, donde k = número en (2,1) / elemento en (1,1).
10. Hacer el segundo número debajo de la diagonal igual a cero: Usa F3 = (k * F1) - F3, donde k = número en (3,1) / elemento en (1,1).
11. Hacer el tercer número debajo de la diagonal igual a cero: Usa [c1 * F2 + c2 * F3], donde c1 y c2 se eligen para que el número en (3,2) sea cero (por ejemplo, -10 * F2 + 90 * F3 en algunos casos).
12. Convertir la matriz resultante en ecuaciones: Escribe las ecuaciones basadas en las filas de la matriz.
13. Encontrar p3: Resuelve la tercera ecuación.
14. Encontrar p2: Usa la segunda ecuación y el valor de p3.
15. Encontrar p1: Usa la primera ecuación y los valores de p2 y p3.
16. Calcular los resultados en porcentajes: Multiplica p1, p2, p3 por 100 para obtener los porcentajes.

Nota: Para una matriz 2x2, el proceso es similar, pero habrá menos ecuaciones y menos números debajo de la diagonal. Lo veremos en el Ejercicio 3.

Paso 1: Formular las 3 Ecuaciones a partir de la Matriz de Transición

Comenzamos con la ecuación fundamental del estado estable para cadenas de Markov: p = p*M. Para una matriz de transición M de 3x3 y un vector de estado p = [p₁, p₂, p₃], esta ecuación se expande en un sistema de tres ecuaciones lineales.

Digamos que nuestra matriz de transición M es:

La ecuación p = p*M se convierte en el siguiente sistema de ecuaciones:

1. p₁ = p₁P₁₁ + p₂P₂₁ + p₃P₃₁
2. p₂ = p₁P₁₂ + p₂P₂₂ + p₃P₃₂
3. p₃ = p₁P₁₃ + p₂P₂₃ + p₃P₃₃

Paso 2: Multiplicar todas las Ecuaciones por 100 para Eliminar Decimales

Para simplificar el trabajo con las ecuaciones y evitar decimales, multiplicamos cada ecuación por 100. Esto no altera la solución del sistema, pero facilita los cálculos manuales y con calculadora básica.

Por ejemplo, la ecuación 1 se transforma en: 100p₁ = 100(p₁P₁₁ + p₂P₂₁ + p₃P₃₁). Hacemos esto para las tres ecuaciones.

Paso 3: Igualar las Ecuaciones a Cero

Reorganizamos cada ecuación para que todos los términos con variables (p₁, p₂, p₃) estén en un lado de la ecuación y el otro lado sea cero. Esto prepara el sistema para aplicar el método de Gauss.

Por ejemplo, la ecuación 1 después del paso 2 se reorganiza para que quede en la forma: (100 - 100P₁₁)p₁ - 100P₂₁p₂ - 100P₃₁p₃ = 0. Repetimos este proceso para las tres ecuaciones.

Paso 4: Simplificar las Ecuaciones

Si es posible, simplificamos las ecuaciones dividiendo todos los coeficientes por un factor común. Esto hace que los números sean más pequeños y más fáciles de manejar en los pasos siguientes. En algunos casos, este paso puede no ser necesario o las ecuaciones ya podrían estar en su forma más simple.

Paso 5: Ecuación de Normalización: p₁ + p₂ + p₃ = 1

Una propiedad fundamental de las probabilidades de estado estable es que deben sumar 1. Añadimos esta ecuación de normalización a nuestro sistema: p₁ + p₂ + p₃ = 1. Para mantener la consistencia con los pasos anteriores, también multiplicamos esta ecuación por 100: 100p₁ + 100p₂ + 100p₃ = 100.

Paso 6: Sustituir la Primera Ecuación por la Ecuación de Normalización

Para aplicar el método de Gauss de forma estándar para resolver sistemas de ecuaciones lineales, reemplazamos la primera ecuación de nuestro sistema original (la que obtuvimos del paso 3, ecuación 1) con la ecuación de normalización que acabamos de obtener (paso 5). Esto nos da un nuevo sistema de tres ecuaciones donde la primera es la ecuación de normalización y las siguientes dos son las ecuaciones 2 y 3 modificadas del paso 3.

Paso 7: Construir el Tablero de Gauss (Matriz Aumentada)

Transformamos nuestro sistema de ecuaciones en una matriz aumentada, que es la representación tabular que utilizaremos para el método de Gauss. La matriz aumentada tendrá las siguientes partes:

• Las columnas de coeficientes de p₁, p₂, p₃ de cada ecuación.
• Una columna vertical separadora (que en la práctica puede ser solo un espacio).
• Una columna con los términos constantes de cada ecuación (en este caso, los lados derechos de las ecuaciones).

Para nuestro sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas, tendremos una matriz de 3 filas y 4 columnas (3 columnas para los coeficientes y 1 para los resultados).

Paso 8: Trazar la Diagonal Principal e Identificar Números Debajo

En la matriz aumentada, trazamos la diagonal principal, que va desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha. Identificamos los números que están por debajo de esta diagonal. El objetivo del método de Gauss es convertir estos números debajo de la diagonal en cero, usando operaciones entre filas.

Paso 9: Convertir el Primer Número Debajo de la Diagonal (A₂₁) en Cero

Nos enfocamos en el primer número debajo de la diagonal (en la posición fila 2, columna 1, que llamamos A₂₁). Para convertir este número en cero, realizamos una operación entre la Fila 1 y la Fila 2.

Calculamos un "factor" dividiendo A₂₁ por el número que está en la diagonal en la misma columna (A₁₁, el primer elemento de la Fila 1). Factor = A₂₁ / A₁₁.

Luego, creamos una "Nueva Fila 2" aplicando la operación: Nueva Fila 2 = (Factor × Fila 1) - Fila 2. Esta operación reemplaza la antigua Fila 2 con la nueva Fila 2, y el elemento en la posición A₂₁ en la nueva matriz será ahora cero (o muy cercano a cero debido a posibles errores de redondeo decimal, si estamos trabajando con decimales).

Paso 10: Convertir el Segundo Número Debajo de la Diagonal en la Primera Columna (A₃₁) en Cero

Ahora, nos movemos al siguiente número debajo de la diagonal en la primera columna (posición fila 3, columna 1, o A₃₁). Usamos un proceso similar al del Paso 9, pero ahora operando con la Fila 1 y la Fila 3.

Calculamos un nuevo factor: Factor = A₃₁ / A₁₁.

Creamos una "Nueva Fila 3": Nueva Fila 3 = (Factor × Fila 1) - Fila 3. Reemplazamos la antigua Fila 3 con esta nueva Fila 3. A₃₁ en la nueva matriz se convertirá en cero.

Paso 11: Convertir el Tercer Número Debajo de la Diagonal (A₃₂) en Cero

Finalmente, necesitamos convertir el número en la posición fila 3, columna 2 (A₃₂) en cero. Este es el último número debajo de la diagonal que debemos eliminar para obtener una matriz en forma escalonada superior.

Para hacer esto, usaremos las Filas 2 y 3 (ya modificadas en los pasos anteriores). En este caso, para evitar introducir fracciones innecesarias en los cálculos manuales, podemos usar una variación del método. Multiplicamos A₃₂ (el número que queremos hacer cero) por la Fila 2, y multiplicamos A₂₂ (el número en la diagonal en la Fila 2) por la Fila 3. Luego, restamos: Nueva Fila 3 = (A₃₂ × Fila 2) - (A₂₂ × Fila 3). Esto asegurará que el nuevo elemento en la posición A₃₂ sea cero.

Tras completar este paso, la matriz aumentada estará en forma escalonada superior: todos los números debajo de la diagonal principal serán cero.

Paso 12: Convertir la Matriz del Tablero de Gauss Actualizado en Ecuaciones Nuevamente

Volvemos a convertir la matriz aumentada en forma escalonada superior de nuevo a un sistema de ecuaciones lineales. Ahora tendremos un sistema triangular superior, que es mucho más fácil de resolver. Las ecuaciones corresponderán a las filas de la matriz transformada.

Paso 13: Encontrar p₃

Comenzamos resolviendo la última ecuación del sistema (la tercera ecuación, correspondiente a la última fila de la matriz). Esta ecuación solo contendrá una incógnita, p₃. Despejamos p₃ de esta ecuación.

Paso 14: Encontrar p₂

Una vez que hemos encontrado el valor de p₃, sustituimos este valor en la segunda ecuación del sistema triangular superior (la ecuación correspondiente a la segunda fila de la matriz). Esta ecuación contendrá p₂ y p₃, pero como ya conocemos p₃, podemos despejar p₂.

Paso 15: Encontrar p₁

Finalmente, sustituimos los valores encontrados para p₂ y p₃ en la primera ecuación del sistema triangular superior (la ecuación correspondiente a la primera fila de la matriz, que originalmente era la ecuación de normalización). Esta ecuación contendrá p₁, p₂, p₃, pero como ya conocemos p₂ y p₃, podemos despejar p₁.

Paso 16: Solución Final con Decimales

Hemos encontrado los valores de p₁, p₂, p₃. Estos son las probabilidades de estado estable de la cadena de Markov. Presentamos la solución final en formato decimal, redondeada a un número apropiado de decimales (por ejemplo, 5 decimales), y verificamos que la suma de p₁ + p₂ + p₃ sea aproximadamente igual a 1.

Ejemplos Resueltos del estado estable en una cadena de Markov

Ejemplo 1:

Matriz de Transición: M =

M =

[ 0.50 0.30 0.20 ]

[ 0.73 0.15 0.12 ]

[ 0.25 0.35 0.40 ]

Paso 1: Formulación del Sistema de Ecuaciones

Paso 2: Cambiar a números entero

Paso 3: Igualar a Cero

Paso 4: Simplificar las Ecuaciones

A partir de p = p*M y multiplicando por 100, obtenemos:

1. -50p₁ + 73p₂ + 25p₃ = 0
2. 30p₁ - 85p₂ + 35p₃ = 0
3. 20p₁ + 12p₂ - 60p₃ = 0

Paso 5-7: Ecuación de Normalización y Matriz Aumentada Inicial

Ecuación de normalización: 100p₁ + 100p₂ + 100p₃ = 100. Reemplazando la Ecuación 1 con la normalización y construyendo la matriz aumentada:

Paso 8: Trazar la diagonal e identificar los 3 números debajo

La diagonal va de la posición (1,1) a (3,3): 100, -85, -60. Los números debajo son (2,1), (3,1), y (3,2): 30,20,12.

Paso 9: Convertir A₂₁ a cero

Factor = A₂₁ / A₁₁ = 30 / 100 = 0.3

Nueva Fila 2 = (Factor × Fila 1) - Fila 2

Factor × Fila 1 = 0.30 * (100 100 100 100)

Factor × Fila 1 = 30 30 30 30

Paso 10: Convertir A₃₁ a cero

Factor = A₃₁ / A₁₁ = 20 / 100 = 0.2.

Nueva Fila 3 = (Factor × Fila 1) - Fila 3

Factor × Fila 1 = 0.20 * (100 100 100 100)

Factor × Fila 1 = 20 20 20 20

Paso 11: Convertir A₃₂ a cero

Factor 1 = A₃₂ = 8, Factor 2 = A₂₂ = 115. Nueva Fila 3 = (Factor 1 × Fila 2) - (Factor 2 × Fila 3)

Paso 12: Convertir la Matriz del Tablero de Gauss Actualizado en Ecuaciones Nuevamente

Paso 13-15: Sustitución hacia atrás para encontrar p₃, p₂, p₁

De la Fila 3: -9240p₃ = -2060 => p₃ ≈ 0.22294

De la Fila 2: -115p₂ + 5p₃ = 30 => p₂ ≈ 0.27056

De la Fila 1: 100p₁ + 100p₂ + 100p₃ = 100 => p₁ ≈ 0.50649

Paso 16: Solución Final

Estado Estable: p₁ ≈ 0.50649, p₂ ≈ 0.27056, p₃ ≈ 0.22294

Ejercicio 2: Clima diario (3x3)

Supongamos que el clima puede estar en tres estados: soleado (S), nublado (N), y lluvioso (L). La matriz de transición es:

P = [ 0.60  0.30  0.10 ]
    [ 0.40  0.40  0.20 ]
    [ 0.30  0.50  0.20 ]

Queremos encontrar las probabilidades a largo plazo de cada estado.

Solución:

Paso 1: Formular las 3 ecuaciones:

0.60 * p1 + 0.40 * p2 + 0.30 * p3 = p1

0.30 * p1 + 0.40 * p2 + 0.50 * p3 = p2

0.10 * p1 + 0.20 * p2 + 0.20 * p3 = p3

Paso 2: Multiplicar por 100:

60 * p1 + 40 * p2 + 30 * p3 = 100 * p1

30 * p1 + 40 * p2 + 50 * p3 = 100 * p2

10 * p1 + 20 * p2 + 20 * p3 = 100 * p3

Paso 3: Igualar a cero:

-40 * p1 + 40 * p2 + 30 * p3 = 0

30 * p1 - 60 * p2 + 50 * p3 = 0

10 * p1 + 20 * p2 - 80 * p3 = 0

Paso 4: Obtenemos las ecuaciones:

[-40 * p1 + 40 * p2 + 30 * p3 = 0]

[ 30 * p1 - 60 * p2 + 50 * p3 = 0]

[ 10 * p1 + 20 * p2 - 80 * p3 = 0]

Paso 5: Agregar la ecuación de normalización:

100 * p1 + 100 * p2 + 100 * p3 = 100

Paso 6: Hacer tablero de Gauss (usamos ecuación de normalización, 2 y 3):

[ 100  100  100 | 100 ]
[  30  -60   50 |   0 ]
[  10   20  -80 |   0 ]

Paso 7: Trazar la diagonal e identificar los 3 números debajo:

• Diagonal: 100, -60, -80
• Números debajo: 30 (posición 2,1), 10 (posición 3,1), 20 (posición 3,2)

Paso 8: Hacer primer número debajo de la diagonal = cero:

Factor: 30 / 100 = 0.3

0.3 * F1 = [30, 30, 30, |, 30]

F2 = (0.3 * F1) - F2 = [30 - 30, 30 - (-60), 30 - 50, |, 30 - 0] = [0, 90, -20, |, 30]

[ 100  100  100 | 100 ]
[   0   90  -20 |  30 ]
[  10   20  -80 |   0 ]

Paso 9: Hacer segundo número debajo de la diagonal = cero:

Factor: 10 / 100 = 0.1

0.1 * F1 = [10, 10, 10, |, 10]

F3 = (0.1 * F1) - F3 = [10 - 10, 10 - 20, 10 - (-80), |, 10 - 0] = [0, -10, 90, |, 10]

[ 100  100  100 | 100 ]
[   0   90  -20 |  30 ]
[   0  -10   90 |  10 ]

Paso 10: Hacer tercer número debajo de la diagonal = cero:

Tercer número: -10 (posición 3,2). Usamos -10 * F2 + 90 * F3:

-10 * F2 = [0, -900, 200, |, -300]

90 * F3 = [0, -900, 8100, |, 900]

F3 = 90 * F3 + (-10 * F2) = [0, -900 + (-900), 8100 + 200, |, 900 + (-300)] = [0, -1800, 8300, |, 600]

[  100   100   100 |  100 ]
[    0    90   -20 |   30 ]
[    0 -1800  8300 |  600 ]

Paso 11: Convertir esa matriz en ecuaciones:

1. 100 * p1 + 100 * p2 + 100 * p3 = 100

2. 90 * p2 - 20 * p3 = 30

3. -1800 * p2 + 8300 * p3 = 600

Paso 12: Encontrar p3:

-1800 * p2 + 8300 * p3 = 600

90 * p2 - 20 * p3 = 30

De la segunda ecuación: 90 * p2 = 30 + 20 * p3

90 * p2 = 30 + 20 * p3

p2 = (30 + 20 * p3) / 90

Sustituyendo en la primera ecuación:

-1800 * ((30 + 20 * p3) / 90) + 8300 * p3 = 600

Multiplicamos por 90:

-1800 * (30 + 20 * p3) + 8300 * 90 * p3 = 600 * 90

-54000 - 36000 * p3 + 747000 * p3 = 54000

711000 * p3 - 54000 = 54000

711000 * p3 = 108000

p3 = 108000 / 711000 = 108 / 711 = 36 / 237 = 12 / 79 ≈ 0.1519

Paso 13: Encontrar p2:

90 * p2 - 20 * (12 / 79) = 30

90 * p2 - 240 / 79 = 30

90 * p2 = 30 + 240 / 79 = (2370 + 240) / 79 = 2610 / 79

p2 = 2610 / (79 * 90) = 2610 / 7110 = 261 / 711 ≈ 0.3671

Paso 14: Encontrar p1:

100 * p1 + 100 * (261 / 711) + 100 * (12 / 79) = 100

100 * p1 + (100 * 261 / 711) + (100 * 12 / 79) = 100

100 * p1 + 36.71 + 15.19 = 100

100 * p1 + 51.90 = 100

100 * p1 = 48.10

p1 = 48.10 / 100 = 0.481

Paso 15: Resultados en porcentajes:

• p1 = 48.1% (soleado)
• p2 = 36.7% (nublado)
• p3 = 15.2% (lluvioso)

Ejercicio 3: Preferencias de compra (3x3)

Un cliente puede comprar en tres tiendas: Tienda A, Tienda B, Tienda C. La matriz de transición es:

P = [ 0.7  0.2  0.1 ]
    [ 0.2  0.75 0.05 ]
    [ 0.1  0.1  0.8 ]

Solución:

Paso 1: Formular las 3 ecuaciones:

0.7 * p1 + 0.2 * p2 + 0.1 * p3 = p1

0.2 * p1 + 0.75 * p2 + 0.1 * p3 = p2

0.1 * p1 + 0.05 * p2 + 0.8 * p3 = p3

Paso 2: Multiplicar por 100:

70 * p1 + 20 * p2 + 10 * p3 = 100 * p1

20 * p1 + 75 * p2 + 10 * p3 = 100 * p2

10 * p1 + 5 * p2 + 80 * p3 = 100 * p3

Paso 3: Igualar a cero:

-30 * p1 + 20 * p2 + 10 * p3 = 0

20 * p1 - 25 * p2 + 10 * p3 = 0

10 * p1 + 5 * p2 - 20 * p3 = 0

Paso 4: Obtenemos las ecuaciones:

[-30 * p1 + 20 * p2 + 10 * p3 = 0]

[ 20 * p1 - 25 * p2 + 10 * p3 = 0]

[ 10 * p1 + 5 * p2 - 20 * p3 = 0]

Paso 5: Agregar la ecuación de normalización:

100 * p1 + 100 * p2 + 100 * p3 = 100

Paso 6: Hacer tablero de Gauss:

[ 100  100  100 | 100 ]
[  20  -25   10 |   0 ]
[  10    5  -20 |   0 ]

Paso 7: Trazar la diagonal e identificar los 3 números debajo:

• Diagonal: 100, -25, -20
• Números debajo: 20 (posición 2,1), 10 (posición 3,1), 5 (posición 3,2)

Paso 8: Hacer primer número debajo de la diagonal = cero:

Factor: 20 / 100 = 0.2

0.2 * F1 = [20, 20, 20, |, 20]

F2 = (0.2 * F1) - F2 = [20 - 20, 20 - (-25), 20 - 10, |, 20 - 0] = [0, 45, 10, |, 20]

[ 100  100  100 | 100 ]
[   0   45   10 |  20 ]
[  10    5  -20 |   0 ]

Paso 9: Hacer segundo número debajo de la diagonal = cero:

Factor: 10 / 100 = 0.1

0.1 * F1 = [10, 10, 10, |, 10]

F3 = (0.1 * F1) - F3 = [10 - 10, 10 - 5, 10 - (-20), |, 10 - 0] = [0, 5, 30, |, 10]

[ 100  100  100 | 100 ]
[   0   45   10 |  20 ]
[   0    5   30 |  10 ]

Paso 10: Hacer tercer número debajo de la diagonal = cero:

Tercer número: 5 (posición 3,2). Usamos 5 * F2 + 45 * F3:

5 * F2 = [0, 225, 50, |, 100]

45 * F3 = [0, 225, 1350, |, 450]

F3 = 45 * F3 + (-5 * F2) = [0, 225 - 225, 1350 - 50, |, 450 - 100] = [0, 0, 1300, |, 350]

[  100   100   100 |  100 ]
[    0    45    10 |   20 ]
[    0     0  1300 |  350 ]

Paso 11: Convertir esa matriz en ecuaciones:

1. 100 * p1 + 100 * p2 + 100 * p3 = 100

2. 45 * p2 + 10 * p3 = 20

3. 1300 * p3 = 350

Paso 12: Encontrar p3:

1300 * p3 = 350

p3 = 350 / 1300 = 7 / 26 ≈ 0.2692

Paso 13: Encontrar p2:

45 * p2 + 10 * (7 / 26) = 20

45 * p2 + 70 / 26 = 20

45 * p2 = 20 - 70 / 26 = (520 - 70) / 26 = 450 / 26 = 225 / 13

p2 = 225 / (13 * 45) = 225 / 585 = 5 / 13 ≈ 0.3846

Paso 14: Encontrar p1:

100 * p1 + 100 * (5 / 13) + 100 * (7 / 26) = 100

100 * p1 + (500 / 13) + (700 / 26) = 100

100 * p1 + 38.46 + 26.92 = 100

100 * p1 + 65.38 = 100

100 * p1 = 34.62

p1 = 0.3462

Paso 15: Resultados en porcentajes:

• p1 = 34.6% (Tienda A)
• p2 = 38.5% (Tienda B)
• p3 = 26.9% (Tienda C)

Ejercicio 4: Hábitos de estudio (2x2)

Un estudiante puede estudiar en casa (C) o en la biblioteca (B). La matriz de transición es:

P = [ 0.6  0.4 ]
    [ 0.3  0.7 ]

Solución:

Paso 1: Formular las ecuaciones (solo 2 para una matriz 2x2):

0.6 * p1 + 0.3 * p2 = p1

0.4 * p1 + 0.7 * p2 = p2

Paso 2: Multiplicar por 100:

60 * p1 + 30 * p2 = 100 * p1

40 * p1 + 70 * p2 = 100 * p2

Paso 3: Igualar a cero:

-40 * p1 + 30 * p2 = 0

40 * p1 - 30 * p2 = 0

Paso 4: Obtenemos las ecuaciones:

[-40 * p1 + 30 * p2 = 0]

[ 40 * p1 - 30 * p2 = 0]

Paso 5: Agregar la ecuación de normalización:

100 * p1 + 100 * p2 = 100

Paso 6: Hacer tablero de Gauss (usamos la ecuación de normalización y una de las dos ecuaciones):

[ 100  100 | 100 ]
[  40  -30 |   0 ]

Paso 7: Trazar la diagonal e identificar los números debajo:

• Diagonal: 100, -30
• Número debajo: 40 (posición 2,1)

Paso 8: Hacer el número debajo de la diagonal = cero:

Factor: 40 / 100 = 0.4

0.4 * F1 = [40, 40, |, 40]

F2 = (0.4 * F1) - F2 = [40 - 40, 40 - (-30), |, 40 - 0] = [0, 70, |, 40]

[ 100  100 | 100 ]
[   0   70 |  40 ]

(No necesitamos los pasos 9 y 10 porque solo hay un número debajo de la diagonal en una matriz 2x2.)

Paso 9 (ajustado para 2x2): Convertir la matriz en ecuaciones:

1. 100 * p1 + 100 * p2 = 100

2. 70 * p2 = 40

Paso 10: Encontrar p2:

70 * p2 = 40

p2 = 40 / 70 = 4 / 7 ≈ 0.5714

Paso 11: Encontrar p1:

100 * p1 + 100 * (4 / 7) = 100

100 * p1 + 400 / 7 = 100

100 * p1 = 100 - 400 / 7 = (700 - 400) / 7 = 300 / 7

p1 = 300 / (7 * 100) = 3 / 7 ≈ 0.4286

Paso 12: Resultados en porcentajes:

• p1 = 42.9% (casa)
• p2 = 57.1% (biblioteca)

Ejemplos en Videos

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7. Usando Microsoft Excel

Conclusión

Felicidades, ¡has llegado al final de esta guía completa para resolver cadenas de Markov de estado estable usando el método de Gauss! Aunque los pasos pueden parecer detallados, cada uno es lógico y construye sobre el anterior. Con práctica, te volverás más ágil en la aplicación de este método. Entender el estado estable de una cadena de Markov es crucial en muchos campos, desde la teoría de colas y la modelización de sistemas biológicos hasta el análisis de algoritmos y procesos estocásticos en finanzas. El método de Gauss te proporciona una técnica robusta para desvelar este estado estable, abriendo la puerta a predicciones y análisis más profundos.

Preguntas Frecuentes (FAQ)

• ¿Por qué multiplicamos las ecuaciones por 100?Multiplicar por 100 es una estrategia para eliminar decimales y trabajar con números enteros, lo que facilita los cálculos manuales y reduce la posibilidad de errores de redondeo. No es estrictamente necesario, pero hace el proceso más práctico, especialmente si estás calculando a mano o con una calculadora básica.
• ¿Qué pasa si la matriz de transición es de un tamaño diferente a 3x3? ¿Funciona el método de Gauss?Sí, el método de Gauss es un método general para resolver sistemas de ecuaciones lineales y funciona para matrices de cualquier tamaño cuadrado (nxn). Si tu matriz de transición fuera de 2x2 o 4x4, el proceso sería análogo, pero con un número diferente de ecuaciones y pasos. Para una matriz de nxn, tendrías n ecuaciones y n incógnitas.
• ¿Siempre existe una solución de estado estable para una cadena de Markov?Para las cadenas de Markov regulares (e irreducible, aperiódica), sí, siempre existe una única distribución de probabilidad de estado estable. Las matrices de transición que hemos considerado en estos ejemplos pertenecen a esta categoría. En casos más generales, la existencia y unicidad pueden depender de las propiedades de la cadena.
• ¿Puedo usar una calculadora online o software para realizar estos cálculos?¡Absolutamente! Para matrices más grandes o para cálculos más rápidos, usar una calculadora online de matrices o software matemático (como MATLAB, Python con NumPy, etc.) es muy recomendable. Estas herramientas pueden realizar la eliminación de Gauss y la resolución de sistemas de ecuaciones de forma mucho más eficiente y precisa que los cálculos manuales. La calculadora que hemos creado en WordPress en conversaciones anteriores es un ejemplo de ello.
• ¿Qué significa el estado estable en términos prácticos?El estado estable representa la distribución de probabilidad a largo plazo del sistema. Si dejas que la cadena de Markov evolucione durante un tiempo muy largo, la probabilidad de estar en cada estado se acercará a los valores del vector de estado estable, independientemente del estado inicial del sistema. Es una "tendencia" a largo plazo de la distribución de probabilidades.

Esperamos que este artículo te haya sido útil para entender y aplicar el método de Gauss a la resolución de cadenas de Markov de estado estable. ¡No dudes en dejarnos tus preguntas y comentarios abajo!

Calculadora de Estado Estable - Cadenas de Markov