Modelo M/M/m: Calculadora de Teoría de Colas con Fórmulas Paso a Paso

¿Qué es el modelo M/M/m?

El nombre M/M/m proviene de la Notación de Kendall (A/B/c):

• Primera M: llegadas siguen una distribución de Poisson (tasa λ constante).
• Segunda M: tiempos de servicio siguen distribución exponencial (tasa μ por servidor).
• m: número de canales (servidores) en paralelo con una única cola.

El modelo asume disciplina FIFO, población infinita y capacidad ilimitada. La condición indispensable para la estabilidad es m·μ > λ (factor de utilización ρ = λ/(mμ) < 1).

Parámetros y métricas del modelo M/M/m

Parámetros de entrada

• λ (lambda): tasa media de llegadas por unidad de tiempo.
• μ (mu): tasa media de servicio de cada canal.
• m: número de servidores.

Métricas de resultado

• P₀ — Probabilidad de sistema vacío.
• Lq — Longitud promedio de la línea de espera.
• L — Longitud promedio del sistema (L = Lq + λ/μ).
• Wq — Tiempo promedio en cola (Wq = Lq/λ).
• W — Tiempo promedio en el sistema (W = Wq + 1/μ).
• ρ — Factor de utilización (ρ = λ/(m·μ)).

¿Cuándo aplicar el modelo M/M/m?

Ideal cuando hay llegadas aleatorias (Poisson), servicios exponenciales, múltiples servidores idénticos y cola única compartida. Ejemplos: centros de llamadas, bancos, urgencias, líneas de producción con varios operarios.

Cómo usar la calculadora M/M/m

Introduce λ, μ, m y la unidad de tiempo. La calculadora verificará la estabilidad y mostrará cada resultado con su desarrollo completo: fórmula general, sustitución de valores, cálculos intermedios y resultado final.

Ejemplo resuelto con la calculadora

Centro de soporte técnico: 240 llamadas/jornada de 8h → λ = 30 llamadas/hora; μ = 12 llamadas/hora por agente; m = 3 agentes. Resultados esperados: P₀ ≈ 0.0449, Lq ≈ 3.511, L ≈ 6.011, Wq ≈ 7.02 min, W ≈ 12.02 min, ρ = 83.33%.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre M/M/1 y M/M/m?

M/M/1 tiene un solo servidor; M/M/m tiene m servidores compartiendo cola, lo que reduce tiempos de espera.

¿Qué pasa si ρ ≥ 1?

Sistema inestable, la cola crece sin límite. Hay que aumentar m o μ.

¿Puedo usar esta calculadora para el modelo M/M/s de mi libro?

Sí, M/M/m, M/M/s o M/M/c son el mismo modelo.

¿La calculadora muestra el procedimiento para examen?

Sí, cada métrica incluye una sección desplegable con la fórmula general, sustitución de valores y resolución aritmética paso a paso.

Limitaciones del modelo M/M/m

Asume servicios exponenciales (CV=1), llegadas Poisson sin picos horarios, población infinita. A pesar de ello, es la herramienta de referencia para un primer análisis de capacidad.